如何计算一个正八边形的面积？

问题描述

精选答案

正八边形面积该怎么计算呢？下面为你介绍几种常见方法：

方法一：分割成多个三角形计算

把正八边形从中心向各个顶点连线，可将其分割成8个全等的等腰三角形。 设正八边形的边长为a，先求等腰三角形的高h。 通过三角函数可得到h的值，以其中一个等腰三角形为例，等腰三角形的顶角为360°÷8=45°，那么半顶角为22.5°。 根据三角函数关系，$h=\frac{a}{2}\tan67.5^{\circ}$。 一个等腰三角形的面积$S_1=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}a\times\frac{a}{2}\tan67.5^{\circ}$。 正八边形面积$S=8S_1=2a^{2}\tan67.5^{\circ}$。

方法二：利用外接正方形计算

假设正八边形边长为a。 可以把正八边形放在一个正方形中，这个正方形的四个角各去掉一个等腰直角三角形就得到正八边形。 等腰直角三角形的直角边长度为x，根据正八边形边长与直角边的关系可得$a=\sqrt{2}x$，即$x=\frac{a}{\sqrt{2}}$。 正方形边长$L=a+2x=a+\sqrt{2}a$。 正方形面积$S_{正方形}=L^{2}=(a+\sqrt{2}a)^{2}$。 四个等腰直角三角形面积和$S_{三角形}=4\times\frac{1}{2}x^{2}=4\times\frac{1}{2}\times(\frac{a}{\sqrt{2}})^{2}=a^{2}$。 那么正八边形面积$S=S_{正方形}-S_{三角形}=(a+\sqrt{2}a)^{2}-a^{2}=2(1+\sqrt{2})a^{2}$。

通过以上方法，只要知道正八边形的边长等关键数据，就能计算出它的面积了。