在复合函数中，如何根据内层函数和外层函数的单调性判断整个指数函数的单调性？

问题描述

精选答案

这一问题是否需要结合具体函数形式进行动态分析？

核心逻辑与判断规则

复合函数的单调性由内层函数与外层函数的单调性组合决定。对于指数函数$f(x)=a^{g(x)}$，其单调性可通过以下规则判断：

外层函数单调性	内层函数单调性	复合函数单调性
增函数（$a>1$）	增函数	增函数
增函数（$a>1$）	减函数	减函数
减函数（$0<a<1$）	增函数	减函数
减函数（$0<a<1$）	减函数	增函数

关键点解析

1. 外层函数的底数$a$决定其单调性

   • 当$a>1$时，外层函数$a^x$是增函数；
   • 当$0<a<1$时，外层函数$a^x$是减函数。

2. 内层函数$g(x)$的单调性需单独分析

   • 通过求导$g'(x)$或观察函数图像判断增减性。

3. 复合函数单调性规则

   • 若外层与内层函数单调性一致（同增或同减），复合函数为增函数；
   • 若外层与内层函数单调性相反（一增一减），复合函数为减函数。

示例说明

例1：$f(x)=2^{x^2}$

• 外层函数$2^x$是增函数（$a=2>1$）；
• 内层函数$x^2$在$x<0$时为减函数，在$x>0$时为增函数；
• 结论：复合函数在$x<0$时为减函数，在$x>0$时为增函数。

例2：$f(x)=(1/3)^{\sqrt{x}}$

• 外层函数$(1/3)^x$是减函数（$0<a=1/3<1$）；
• 内层函数$\sqrt{x}$是增函数；
• 结论：复合函数为减函数。

注意事项

• 若内层函数在定义域内存在极值点（如$g(x)=x^2$），需分区间讨论复合函数的单调性；
• 当外层函数为指数函数时，其单调性仅由底数$a$决定，与内层函数的具体形式无关。