在组合图形中，如何利用梯形的一半模型与其他几何模型（如蝴蝶模型）结合解题？

问题描述

精选答案

如何通过梯形分割与蝴蝶模型联动破解复杂几何题？

核心模型解析

模型名称	核心原理	应用场景
梯形一半模型	利用梯形对称性，将图形沿中位线或对角线分割为面积相等的两部分	需要计算梯形面积或寻找对称关系时
蝴蝶模型	通过交点将图形分为四部分，利用比例关系（如对角线分割比）解题	需要处理交叉线比例或面积比时

组合应用步骤

1. 梯形分割定位

   • 将梯形沿中位线切割，形成两个小梯形或矩形，简化图形复杂度。
   • 示例：若原梯形面积为$S$，分割后每个小梯形面积为$\frac{S}{2}$。

2. 蝴蝶模型介入

   • 在分割后的图形中寻找对角线交点，标记为蝴蝶模型的“触角”端点。
   • 示例：若交点将对角线分为$a:b$的比例，则对应区域面积比为$a^2:b^2$。

3. 联动计算

   • 结合梯形分割后的面积与蝴蝶模型的比例关系，建立方程。
   • 公式：若梯形分割后某区域面积为$\frac{S}{2}\times\frac{a^2}{a^2+b^2}$，则可求得未知量。

实战案例

题目：梯形$ABCD$中，$AB\parallelCD$，$E$为$AD$中点，$BE$与$AC$交于$F$，求$AF:FC$。

解题过程：

1. 梯形一半模型：连接$AC$，将梯形分为$\triangleABC$和$\triangleADC$，面积相等。
2. 蝴蝶模型：在$\triangleADC$中，$E$为中点，$BE$交$AC$于$F$，利用蝴蝶模型得$AF:FC=2:1$。

关键技巧总结

• 对称性优先：梯形分割可快速定位对称轴，减少计算量。
• 比例联动：蝴蝶模型的比例关系需与梯形面积结合，避免孤立使用。
• 图形标注：明确标出交点、中点及分割线，降低理解误差。

通过梯形分割与蝴蝶模型的联动，可将复杂组合图形转化为简单比例问题，适用于小升初奥数及初中几何竞赛题型。