梅森关于2^P-1型素数的断言中存在哪些错误？这些错误是如何被后人发现的？

问题描述

精选答案

梅森曾提出形如2的P次方减1的素数规律，但其断言存在遗漏和误判，后经数学家验证修正。

一、梅森断言的核心错误

1.错误包含非素数
梅森最初列出的P值（如67、257）对应的2^P-1并非素数。例如：

• P=67：计算结果为合数（193707721×761838257287）
• P=257：直到20世纪才被证实为合数。

2.遗漏有效素数
梅森未提及多个实际成立的P值，例如：

• P=61（1923年证明为素数）
• P=89和P=107（20世纪初验证）

二、错误发现的过程与工具

1.数学理论的发展

• 欧拉的贡献：18世纪，欧拉证明P=31符合条件，但指出梅森部分P值存在问题。
• 卢卡斯-莱默检验法：19世纪后，该算法成为验证2^P-1型数的核心工具。

2.计算技术的进步

• 手工计算局限性：梅森时代依赖人工计算，难以处理大数分解。
• 计算机辅助：20世纪后，计算机帮助验证了P=521、607等更大数值。

三、原断言与修正对比（部分示例）

梅森列出的P值	实际验证结果
67	合数
257	合数
未包含的P=61	素数
未包含的P=89	素数

四、错误根源与历史背景

梅森的研究受限于17世纪数学工具，未能完成系统性证明。其断言基于有限的手工验算和猜测，后人通过严格数学推导与计算技术逐步完善该领域，最终形成现代“梅森素数”的定义与清单。