使用大除法因式分解多项式时，若除法过程中出现余数，如何调整步骤继续完成因式分解？

问题描述

精选答案

当使用大除法因式分解多项式时，若除法过程中出现余数，究竟该如何调整步骤以继续完成因式分解呢？

明确余数出现原因

大除法中出现余数，说明当前所除的因式并非原多项式的一个准确因式。比如，对于多项式$f(x)=x^3+2x^2+3x+1$，若用$x-1$进行大除法，出现余数，这就表明$x-1$不是$f(x)$的一个因式。

调整因式尝试

• 换一次因式：可以根据多项式的常数项因数来尝试不同的一次因式。例如对于多项式$x^2+5x+6$，常数项6的因数有±1、±2、±3、±6，我们可以依次尝试$x+1$、$x-1$、$x+2$等一次因式进行大除法。
• 考虑高次因式：若一次因式都尝试后仍无法分解，可考虑二次或更高次的因式。如某些多项式可能可分解为两个二次因式的乘积，我们可以设出二次因式的一般形式$ax^2+bx+c$进行尝试。

借助余数定理

余数定理指出，多项式$f(x)$除以$x-a$的余数为$f(a)$。当余数不为0时，我们可以根据$f(a)$的值来调整$a$的取值。若$f(a)=k\neq0$，可以尝试$a$附近的值，通过多次尝试找到使$f(a)=0$的$a$，此时$x-a$就是多项式的一个因式。

综合运用其他方法

• 分组分解法：结合分组分解法，将多项式进行适当分组后再尝试大除法。例如对于多项式$x^3+3x^2+3x+1$，可先分组为$(x^3+1)+(3x^2+3x)$，分别因式分解后再进行大除法。
• 公式法：利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$、完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pmb)^2$等对多项式进行初步变形，然后再进行大除法因式分解。