为什么说1除以0在实数系统中是未定义的操作？

问题描述

精选答案

为什么1除以0在实数系统里不能被定义呢？下面我们来分析原因。

从除法的定义角度

除法是乘法的逆运算。例如，如果$a\divb=c$，那么$b\timesc=a$。现在假设$1\div0=x$，按照除法与乘法的逆运算关系，就有$0\timesx=1$。但我们知道，任何实数与0相乘的结果都必然是0，不可能等于1，所以找不到这样一个实数$x$来满足$1\div0$的运算，这表明在实数系统中它无法被合理定义。

从极限的角度看

当考虑$1\divx$在$x$趋近于0的情况时，会出现两种不同的趋势。

• 当$x$从正数方向趋近于0（即$x\to0^{+}$）时，$1\divx$的值会变得越来越大，趋近于正无穷大（$+\infty$）。
• 当$x$从负数方向趋近于0（即$x\to0^{-}$）时，$1\divx$的值会变得越来越小，趋近于负无穷大（$-\infty$）。 由于在$x$趋近于0时，$1\divx$没有一个确定的极限值，这也说明在实数系统中$1\div0$不能被定义为一个确定的实数。

综上所述，无论是从除法的逆运算规则，还是从极限的表现来看，1除以0在实数系统中都无法被赋予一个明确的、合理的实数结果，所以它是未定义的操作。