古代“百鸡问题”中提到的“打公鸡”数学模型如何推导三种鸡的数量关系？

问题描述

精选答案

古代“百鸡问题”是怎么回事，其中“打公鸡”数学模型究竟该如何推导三种鸡的数量关系呢？

问题背景

“百鸡问题”出自中国古代约5-6世纪成书的《张丘建算经》，其原文为“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”“打公鸡”可能是对“公鸡”的一种说法。设公鸡、母鸡、小鸡的数量分别为x、y、z只。

建立方程

根据题目条件，可得到两个方程：

• 数量方程：x+y+z=100（三种鸡的总数是100只）
• 价格方程：5x+3y+z/3=100（买三种鸡总共花100钱）

推导过程

1. 为了消去z，将价格方程两边同时乘以3，得到15x+9y+z=300。
2. 用这个式子减去数量方程x+y+z=100，可得：
   • (15x+9y+z)-(x+y+z)=300-100
   • 15x+9y+z-x-y-z=200
   • 14x+8y=200
3. 化简上述方程，两边同时除以2，得到7x+4y=100。
4. 进一步变形求解y，可得y=(100-7x)/4=25-7x/4。

确定取值范围

因为x、y、z都应为非负整数，所以从y=25-7x/4可知，x必须是4的倍数。

• 当x=0时，y=25-7×0/4=25，代入数量方程z=100-0-25=75。
• 当x=4时，y=25-7×4/4=25-7=18，z=100-4-18=78。
• 当x=8时，y=25-7×8/4=25-14=11，z=100-8-11=81。
• 当x=12时，y=25-7×12/4=25-21=4，z=100-12-4=84。
• 当x再增大时，y会变为负数，不符合实际情况。

总结结果

公鸡数量(x)	母鸡数量(y)	小鸡数量(z)
0	25	75
4	18	78
8	11	81
12	4	84

通过以上步骤，就利用“打公鸡”（公鸡）相关的数学模型推导出了三种鸡的数量关系及具体可能的数量组合。