在二次函数f(x)=kxk2-k中，当k为何值时函数图像开口向下？

问题描述

精选答案

二次项系数k的符号如何影响抛物线的开口方向？

核心解析

二次函数的一般形式为$f(x)=ax^2+bx+c$，其开口方向由二次项系数$a$决定：

• 当$a>0$时，抛物线开口向上；
• 当$a<0$时，抛物线开口向下。

题目中的函数可简化为$f(x)=kx^2-k$，其中二次项系数为$k$。因此，开口向下的条件为：
$k<0$

参数与开口方向对照表

参数$k$	开口方向	函数示例
$k=2$	向上	$f(x)=2x^2-2$
$k=-3$	向下	$f(x)=-3x^2+3$
$k=0$	无抛物线（退化为直线）	$f(x)=0x^2-0=0$

补充说明

1. 参数$k$的双重作用：

   • 作为二次项系数，决定开口方向；
   • 作为常数项（$-k$），影响抛物线的顶点位置。

2. 特殊值分析：

   • 当$k=0$时，函数退化为常数函数$f(x)=0$，无抛物线；
   • 当$k\neq0$时，抛物线对称轴为$x=0$，顶点坐标为$(0,-k)$。

图像示例

• 开口向上（$k=2$）：顶点在$(0,-2)$，向上延伸。
• 开口向下（$k=-3$）：顶点在$(0,3)$，向下延伸。

总结

函数$f(x)=kx^2-k$的开口方向完全由参数$k$的符号决定，当且仅当$k<0$时，抛物线开口向下。