当化简求值题涉及绝对值符号时，如何根据变量取值范围分情况讨论并化简？

问题描述

精选答案

当化简求值题涉及绝对值符号时，怎样依据变量取值范围分情况讨论并化简呢？

理解绝对值的定义

绝对值的定义是：一个数的绝对值表示这个数在数轴上所对应点到原点的距离，所以绝对值一定是非负的。用数学语言表示为：

• 当$a\geq0$时，$\verta\vert=a$；
• 当$a\lt0$时，$\verta\vert=-a$。 例如，$\vert5\vert=5$，因为$5\gt0$；$\vert-3\vert=-(-3)=3$，因为$-3\lt0$。

找出绝对值内式子的零点

要根据变量取值范围分情况讨论，首先需要找出绝对值内式子等于$0$时变量的值，这些值就是“零点”。 比如对于$\vertx-2\vert$，令$x-2=0$，解得$x=2$，那么$x=2$就是这个绝对值式子的零点。

根据零点划分取值范围

以零点为分界点，将数轴分成不同的区间，然后在每个区间内分别讨论绝对值内式子的正负性。 对于$\vertx-2\vert$，零点是$x=2$，则可以将数轴分为$x\lt2$和$x\geq2$两个区间。

• 当$x\lt2$时，$x-2\lt0$，根据绝对值定义$\vertx-2\vert=-(x-2)=2-x$；
• 当$x\geq2$时，$x-2\geq0$，则$\vertx-2\vert=x-2$。

多绝对值符号的情况

如果题目中有多个绝对值符号，同样先分别找出每个绝对值内式子的零点，然后根据这些零点将数轴分成多个区间，再在每个区间内对所有绝对值进行化简。 例如化简$\vertx+1\vert+\vertx-3\vert$：

• 先找零点，令$x+1=0$，得$x=-1$；令$x-3=0$，得$x=3$。
• 零点将数轴分为$x\lt-1$、$-1\leqx\lt3$、$x\geq3$三个区间。
  • 当$x\lt-1$时，$x+1\lt0$，$x-3\lt0$，则$\vertx+1\vert+\vertx-3\vert=-(x+1)-(x-3)=-x-1-x+3=-2x+2$；
  • 当$-1\leqx\lt3$时，$x+1\geq0$，$x-3\lt0$，则$\vertx+1\vert+\vertx-3\vert=x+1-(x-3)=x+1-x+3=4$；
  • 当$x\geq3$时，$x+1\gt0$，$x-3\geq0$，则$\vertx+1\vert+\vertx-3\vert=x+1+x-3=2x-2$。

结合题目条件进行化简求值

最后，根据题目给定的变量取值范围或者其他条件，选择合适的区间进行化简求值。 例如，已知$-2\ltx\lt1$，化简$\vertx+1\vert+\vertx-3\vert$。因为$-2\ltx\lt1$满足$-1\leqx\lt3$这个区间，所以$\vertx+1\vert+\vertx-3\vert=4$。