如何利用柯西中值定理证明泰勒展开式中的柯西余项？

问题描述

精选答案

泰勒展开式中的柯西余项形式为：

$$R_n=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

其中$\xi$位于$a$和$x$之间。如何通过柯西中值定理推导这一余项？

核心思路

1. 构造辅助函数
   定义两个函数$F(t)$和$G(t)$，满足柯西中值定理的条件：

   $$F(t)=f(a+t(x-a))-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}t^k(x-a)^k$$ $$G(t)=\frac{(x-a)^{n+1}}{n+1}t^{n+1}$$

2. 验证连续性和可导性

   • $F(t)$和$G(t)$在区间$$上连续，且在$(0,1)$内可导。
   • $G'(t)=(x-a)^{n+1}t^n\neq0$（当$t\in(0,1)$时）。

3. 应用柯西中值定理
   根据柯西中值定理，存在$\xi\in(0,1)$，使得：

   $$\frac{F'(ξ)}{G'(ξ)}=\frac{F(1)-F(0)}{G(1)-G(0)}$$

   其中：

   • $F(1)=R_n$（余项），$F(0)=0$；
   • $G(1)=\frac{(x-a)^{n+1}}{n+1}$，$G(0)=0$。

4. 计算导数并化简

   • $F'(t)=f^{(n+1)}(a+t(x-a))(x-a)^{n+1}$（通过逐项求导泰勒多项式）；
   • $G'(t)=(x-a)^{n+1}t^n$。
     代入后得到：
   $$\frac{f^{(n+1)}(a+ξ(x-a))(x-a)^{n+1}}{(x-a)^{n+1}ξ^n}=\frac{R_n}{\frac{(x-a)^{n+1}}{n+1}}$$

   化简得：

   $$R_n=\frac{f^{(n+1)}(a+ξ(x-a))}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

关键步骤总结

步骤	内容
1	构造辅助函数$F(t)$和$G(t)$，确保满足柯西中值定理条件。
2	计算$F(t)$和$G(t)$的导数，并验证$G'(t)\neq0$。
3	应用柯西中值定理，通过比例关系推导余项表达式。
4	代入边界条件$t=0$和$t=1$，化简得到柯西余项。

深入分析

• 几何意义：柯西余项反映了函数在$a$点附近的高阶变化趋势，通过导数比值量化了多项式与原函数的偏差。
• 应用限制：需保证$f^{(n+1)}(x)$在区间$$内连续，且$x\neqa$。
• 与其他余项的关系：柯西余项可视为拉格朗日余项的推广，适用于更复杂的函数分析场景。

通过上述推导，柯西中值定理为泰勒余项的表达提供了严谨的数学基础，体现了微分中值定理在高阶近似中的核心作用。