圆锥展开图的弧长与底面圆的周长是否相等？

问题描述

精选答案

圆锥展开图的弧长真的和底面圆的周长相等吗？

理论分析

当把一个圆锥沿着母线展开时，圆锥的底面圆会形成一个完整的圆周，而圆锥的侧面展开后是一个扇形。从空间几何的角度来看，圆锥底面圆在展开前后，其长度并没有发生变化。圆锥侧面展开图扇形的弧长，实际上就是原来围绕底面圆一周的长度。所以，从理论上来说，圆锥展开图的弧长与底面圆的周长是相等的。

公式验证

设圆锥底面圆的半径为$r$，根据圆的周长公式$C=2\pir$可计算出底面圆的周长。设圆锥侧面展开图扇形的半径为$R$（即圆锥母线长），弧长为$l$，若该扇形圆心角为$n^{\circ}$，则弧长公式为$l=\frac{n\piR}{180}$。在圆锥中，通过几何关系推导，可以得出这个弧长$l$就等于底面圆的周长$2\pir$。

实际例子

假如有一个底面半径为$3$厘米的圆锥，根据圆的周长公式可得底面圆的周长$C=2\pi×3=6\pi$厘米。当把这个圆锥展开后，测量其侧面展开图扇形的弧长，会发现这个弧长同样是$6\pi$厘米，这也进一步证明了圆锥展开图的弧长与底面圆的周长相等。

综上，圆锥展开图的弧长与底面圆的周长是相等的。