四二在数学中有哪些有趣的数论问题？

问题描述

精选答案

四二在数学里还能引出哪些有趣数论问题呢？

1.与因数相关问题

42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42。可以研究其因数个数的规律，比如对于一个正整数$N=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\cdotsp_{k}^{a_{k}}$（$p_i$为质数，$a_i$为正整数），其因数个数为$(a_{1}+1)(a_{2}+1)\cdots(a_{k}+1)$，42=2×3×7，这里$a_1=a_2=a_3=1$，所以因数个数为$(1+1)\times(1+1)\times(1+1)=8$。还能探讨42与其因数之间的和、差等运算关系，像42所有因数之和为1+2+3+6+7+14+21+42=96。

2.分解质因数衍生问题

42分解质因数为2×3×7，这几个质数是构建42的基本元素。可以思考在所有能分解成三个不同质数相乘形式的数中，42处于怎样的地位，例如比较它们的大小、因数特征等。还能研究在一定范围内，有多少个数能像42这样分解成三个不同质数之积。

3.整除性问题

判断一个数能否被42整除，等价于判断它能否同时被2、3、7整除。因为42=2×3×7，根据整除的性质，如果一个数能被几个互质的数整除，那么它就能被这几个数的乘积整除。比如判断252是否能被42整除，252能被2整除（个位是2），各位数字之和2+5+2=9能被3整除，且252÷7=36能被7整除，所以252能被42整除。可以进一步探讨在一个数列中，有多少个数能被42整除等问题。

4.与其他数的关系问题

在数论中常常研究数与数之间的关系，比如42和43，它们是相邻的两个数，互质，这在数论中有很多应用，如在求最大公因数时，相邻两个正整数的最大公因数为1。再看42和84，84是42的2倍，研究它们在倍数关系下的一些性质，比如在余数问题中，一个数除以42和除以84的余数情况会有怎样的联系。