如何利用微积分题中的微分方程思想，建立并求解自由落体运动中速度随时间变化的表达式？

问题描述

精选答案

如何通过数学建模将物理现象转化为可求解的微分方程？

核心推导过程

自由落体运动中，物体仅受重力作用，加速度恒定为$g$。根据牛顿运动定律，加速度是速度对时间的导数，因此可建立微分方程：

$$\frac{dv}{dt}=g$$

通过分离变量法求解：

$$dv=g\,dt$$

对两边积分：

$$\int_{v_0}^{v}dv=\int_{0}^{t}g\,dt$$

得到速度表达式：

$$v(t)=v_0+gt$$

若初始速度$v_0=0$，则简化为：

$$v(t)=gt$$

关键步骤解析

步骤	数学操作	物理意义
1	建立微分方程$\frac{dv}{dt}=g$	将加速度定义为速度随时间的变化率
2	分离变量$dv=g\,dt$	将速度和时间变量分离，便于积分
3	积分$\intdv=\intg\,dt$	通过积分消除导数，恢复速度函数
4	应用初始条件$v(0)=v_0$	确定积分常数，使解符合实际物理情境

验证与扩展

1. 验证：

   • 当$t=0$，$v(0)=v_0$，符合初始条件。
   • 速度随时间线性增长，与加速度恒定的物理规律一致。

2. 扩展应用：

   • 若考虑空气阻力，微分方程变为$\frac{dv}{dt}=g-kv$（$k$为阻力系数），需用一阶线性微分方程求解法。
   • 通过二次积分可得位移公式$s(t)=v_0t+\frac{1}{2}gt^2$。

常见疑问解答

Q：为什么微分方程思想适用于自由落体？
A：自由落体的加速度恒定，符合微分方程的确定性条件，可通过积分直接求解。

Q：若初始速度不为零，结果如何变化？
A：表达式变为$v(t)=v_0+gt$，初始速度$v_0$作为常数项保留。

Q：如何推广到非自由落体场景？
A：引入阻力、浮力等外力，修改微分方程形式，例如$\frac{dv}{dt}=g-\frac{b}{m}v$（$b$为阻力系数，$m$为质量）。