如何利用切线放缩法证明平均值不等式？

问题描述

精选答案

如何利用切线放缩法证明平均值不等式？
平均值不等式（AM≥GM）是数学中经典结论，但如何通过切线放缩法直观证明？这一方法的核心在于利用函数切线的性质，将复杂不等式转化为简单几何关系。以下是具体步骤解析：

1.函数选择与切线方程

选择自然对数函数$f(x)=\lnx$，因其导数$f'(x)=\frac{1}{x}$易于计算。
在$x=1$处，切线方程为：

$$y=f(1)+f'(1)(x-1)=0+1\cdot(x-1)=x-1$$

关键性质：

• 当$x\geq1$时，$x-1\geq\lnx$；
• 当$0<x<1$时，$x-1\leq\lnx$。

2.变量标准化与不等式变形

设正数$a,b$，令$t=\frac{a}{b}$，则$a=tb$，算术平均与几何平均分别为：

$$\text{AM}=\frac{a+b}{2}=\frac{b(t+1)}{2},\quad\text{GM}=\sqrt{ab}=b\sqrt{t}$$

目标不等式转化为：

$$\frac{t+1}{2}\geq\sqrt{t}\quad\Rightarrow\quad\frac{t+1}{2}\geq\sqrt{t}$$

3.应用切线放缩

对$t$进行标准化，令$t=s^2$（$s>0$），则不等式变为：

$$\frac{s^2+1}{2}\geqs\quad\Rightarrow\quads^2-2s+1\geq0\quad\Rightarrow\quad(s-1)^2\geq0$$

显然成立，等号当且仅当$s=1$（即$t=1$，$a=b$）时取得。

4.与切线性质的结合

通过变量替换$t=e^x$，原不等式转化为：

$$\frac{e^x+1}{2}\geqe^{x/2}$$

取自然对数后，应用切线放缩到$f(x)=\lnx$：

$$\ln\left(\frac{e^x+1}{2}\right)\geq\frac{x}{2}$$

利用$e^x\geqx+1$（切线放缩法对$e^x$的应用），可进一步验证不等式成立。

5.总结与扩展

步骤	方法	作用
1	选择函数$\lnx$	简化对数运算
2	变量标准化	转化为对称形式
3	切线放缩	利用几何直观证明
4	二次替换	深化不等式本质

疑问：是否所有不等式均可通过切线放缩法证明？
答案是否定的，但此方法对凸/凹函数特别有效，如$e^x,\lnx$等。通过切线的“局部线性化”，可将复杂问题转化为直观的几何关系，是数学分析中的重要技巧。