动态规划中的最大K乘积问题如何解决？

问题描述

精选答案

如何通过动态规划高效拆分整数以最大化乘积？

问题定义
给定正整数N和K，将N拆分为K个正整数之和，求这些数的乘积最大值。例如，N=10，K=3时，最优拆分是3+3+4，乘积为36。

核心思路

1. 分解子问题：设dp为将n拆分为k个数的最大乘积。
2. 状态转移：对于每个n和k，遍历可能的拆分点i（1≤i≤n-k+1），计算i与剩余部分的最大乘积：
   dp=max{i×dp}。
3. 边界条件：当k=1时，dp=n；当n<k时，无解返回0。

动态规划表格示例

N\K	1	2	3	4
2	2	1×1=1	0	0
3	3	1×2=2	1×1×1=1	0
4	4	2×2=4	1×1×2=2	1×1×1×1=1
5	5	2×3=6	2×2×1=4	1×1×1×2=2
10	10	5×5=25	3×3×4=36	2×3×3×2=36

关键优化

• 空间压缩：使用一维数组滚动更新，减少内存占用。
• 数学规律：当K≥2时，最优解趋向于拆分出尽可能多的3，余数处理为2或4（如3+3+4优于3+3+2+2）。

代码框架

python
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defmax_product(n,k):

ifn<k:

return0

dp=()*(k+1)for_inrange(n+1)

foriinrange(1,n+1):

dp=i

forjinrange(2,k+1):

foriinrange(j,n+1):

forxinrange(1,i-j+2):

dp=max(dp,x*dp)

returndp

应用场景
该问题可扩展至资源分配、组合优化等领域，例如最大化利润分配或最小化能耗拆分任务。