如何利用瓜豆原理求解正三角形中动点轨迹的最短路径？

问题描述

精选答案

如何通过几何变换将动态问题转化为静态最值问题？

核心思路

瓜豆原理（主从联动原理）的核心是通过几何变换（旋转、平移、缩放）建立动点与主动点的关联，将动态轨迹问题转化为静态几何最值问题。

步骤解析

1. 确定主动点与从动点

   • 主动点：在正三角形边或顶点上运动的点（如点P）。
   • 从动点：受主动点约束的动点（如点Q），其轨迹需通过瓜豆原理推导。

2. 构造辅助图形

   • 旋转法：若主动点P绕某点旋转θ角得到从动点Q，则轨迹为圆弧或直线。
   • 平移法：若Q与P存在固定向量关系，则轨迹为平行线。

3. 轨迹方程推导

   • 正三角形对称性：利用正三角形60°角特性，通过旋转60°或120°建立关联。
   • 例：若Q为P绕正三角形中心旋转60°后的点，则Q轨迹为圆的一部分。

关键公式与案例

情形	主动点路径	从动点轨迹	最短路径计算方法
1	边AB上滑动	圆弧	连接圆心与目标点，取弦长
2	顶点A旋转	直线	利用相似三角形比例
3	边AB中点	椭圆	参数方程求导找极值

实操示例

问题：正三角形ABC中，点P在边AB上滑动，点Q满足AQ=AP且∠PAQ=60°，求Q到C的最短距离。
解答：

1. 由AQ=AP且∠PAQ=60°，知△APQ为正三角形。
2. Q轨迹为以A为中心、AP为半径的圆弧（60°扇形）。
3. 最短路径为C到该圆弧的切线长，计算得$\sqrt{3}\cdot\text{边长}/2$。

注意事项

• 动态问题需固定参考系，优先考虑对称性。
• 复杂轨迹可拆解为基本变换（旋转+平移）。
• 最值问题常结合三角函数或导数求解。