e的复利计算公式中，当分割次数n趋近于无穷大时，如何通过极限过程推导出e的具体数值？

问题描述

精选答案

这一极限过程如何揭示e的数学本质？

核心公式与极限定义

复利计算公式为：
$A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$
当分割次数$n\to\infty$时，连续复利模型中$r=1$，$t=1$，公式简化为：
$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

数值逼近与极限验证

通过代入不同$n$值计算$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$，观察其趋近于$e$的过程：

分割次数$n$	计算结果$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
1	2.0000000000
2	2.2500000000
10	2.5937424601
100	2.7048138294
1000	2.7169239322
10,000	2.7181459268

数学推导：二项式展开法

将$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$展开为二项式级数：

$$\begin{align*} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n&=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left(\frac{1}{n}\right)^k\\ &=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots \end{align*}$$

当$n\to\infty$时，所有含$\frac{1}{n}$的项趋近于0，级数收敛为：

$$e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\cdots$$

扩展应用：连续复利模型

在金融领域，连续复利公式$A=Pe^{rt}$的数学基础源于上述极限过程。例如，当本金$P=1$，年利率$r=100\%$，时间$t=1$年时，最终金额为$e\approx2.71828$。

关键结论

通过极限过程，$e$被定义为自然增长的极限值，其数学本质与连续复利、指数函数导数等概念紧密相关。这一推导不仅解释了$e$的数值来源，还揭示了其在微积分和应用数学中的核心地位。